“En su mayoría creemos que todas las conjeturas son ciertas, pero es muy emocionante verlo realmente realizado”, dijo Ana Caraiani, matemática en el Imperial College London. “Y en un caso que realmente pensaste que iba a estar fuera de su alcance”.
Es solo el comienzo de una caza que llevará años: los matemáticos finalmente quieren mostrar modularidad para cada superficie abeliana. Pero el resultado ya puede ayudar a responder muchas preguntas abiertas, al igual que demostrar la modularidad para las curvas elípticas que abrieron todo tipo de nuevas direcciones de investigación.
A través del vaso de aspecto
La curva elíptica es un tipo de ecuación particularmente fundamental que usa solo dos variables:incógnita y Y. Si grafica sus soluciones, verá qué parecen ser curvas simples. Pero estas soluciones están interrelacionadas de manera rica y complicada, y aparecen en muchas de las preguntas más importantes de la teoría de números. La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, por ejemplo, uno de los problemas abiertos más difíciles en matemáticas, con una recompensa de $ 1 millón para quien lo demuestre primero, se trata de la naturaleza de las soluciones a las curvas elípticas.
Las curvas elípticas pueden ser difíciles de estudiar directamente. Entonces, a veces los matemáticos prefieren acercarse a ellos desde un ángulo diferente.
Ahí es donde entran las formas modulares. Una forma modular es una función altamente simétrica que aparece en un área aparentemente separada de estudio matemático llamado análisis. Debido a que exhiben tantas simetrías agradables, las formas modulares pueden ser más fáciles de trabajar.
Al principio, estos objetos parecen no estar relacionados. Pero la prueba de Taylor y Wiles reveló que cada curva elíptica corresponde a una forma modular específica. Tienen ciertas propiedades en común, por ejemplo, un conjunto de números que describen las soluciones a una curva elíptica también surgirá en su forma modular asociada. Por lo tanto, los matemáticos pueden usar formas modulares para obtener nuevas ideas sobre las curvas elípticas.
Pero los matemáticos piensan que el teorema de modularidad de Taylor y Wiles es solo una instancia de un hecho universal. Hay una clase mucho más general de objetos más allá de las curvas elípticas. Y todos estos objetos también deberían tener un socio en el mundo más amplio de las funciones simétricas como las formas modulares. Esto, en esencia, es de lo que se trata el programa Langlands.
Una curva elíptica tiene solo dos variables:incógnita y Y—So se puede graficar en una hoja plana de papel. Pero si agrega otra variable, zobtienes una superficie curvilínea que vive en un espacio tridimensional. Este objeto más complicado se llama superficie abeliana, y al igual que con las curvas elípticas, sus soluciones tienen una estructura adornada que los matemáticos quieren entender.
Parecía natural que las superficies abelianas correspondan a tipos más complicados de formas modulares. Pero la variable adicional los hace mucho más difíciles de construir y sus soluciones mucho más difíciles de encontrar. Probar que ellos también satisfacen un teorema de modularidad parecían completamente fuera de alcance. “Era un problema conocido no pensar, porque la gente lo ha pensado y se quedó atascado”, dijo Gee.
Pero Boxer, Calegari, Gee y Pilloni querían probar.
Encontrar un puente
Los cuatro matemáticos participaron en la investigación sobre el programa Langlands, y querían demostrar una de estas conjeturas para “un objeto que realmente aparece en la vida real, en lugar de algo extraño”, dijo Calientegari.
Las superficies abelianas no solo aparecen en la vida real, la vida real de un matemático, es decir, sino que demostrar un teorema de modularidad sobre ellas abriría nuevas puertas matemáticas. “Hay muchas cosas que puede hacer si tiene esta declaración de que no tiene ninguna posibilidad de hacer lo contrario”, dijo Calientegari.
Los matemáticos comenzaron a trabajar juntos en 2016, con la esperanza de seguir los mismos pasos que Taylor y Wiles tenían en su prueba sobre las curvas elípticas. Pero cada uno de esos pasos fue mucho más complicado para las superficies abelianas.
Por lo tanto, se centraron en un tipo particular de superficie abeliana, llamada superficie abeliana ordinaria, que era más fácil trabajar. Para cualquier superficie de este tipo, hay un conjunto de números que describen la estructura de sus soluciones. Si pudieran mostrar que el mismo conjunto de números también podría derivarse de una forma modular, se harían. Los números servirían como una etiqueta única, lo que les permite emparejar cada una de sus superficies abelianas con una forma modular.
